已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為4，則p的值為（　�。�
分析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由點(diǎn)差法得到
y1-y2
x1-x2
•（y1+y2）=2p，因?yàn)檫^拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，所以
y1-y2
x1-x2
=1，AB方程為：y=x-
p
2
，故y1+y2=2p，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
3p
2
，再由線段AB的中點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為4，能求出p．
解答：解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
y12=2px1，①
y22=2px2，②
 ①-②，得：（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），
∴
y1-y2
x1-x2
•（y1+y2）=2p，
∵過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，
∴
y1-y2
x1-x2
=1，AB方程為：y=x-
p
2
，
∵
y1+y2
2
為AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)，
∴y1+y2=2p，
∵y1=x1-
p
2
，y2=x2-
p
2
，
∴y1+y2=x1+x2-p，
∴x1+x2=y1+y2+p，
∵
x1+x2
2
=
(y1+y2+p)
2
=
3p
2
，
∴AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
3p
2
，
∵線段AB的中點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為4，
∴
p
2
+
3p
2
=4，解得p=2．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個動點(diǎn)，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動點(diǎn)，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　�。�

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