Question

【選修4-4　不等式證明】
設(shè)a、b、c均為正實(shí)數(shù)，求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：該題是輪換式不等式的證明，可以利用基本不等式證得

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，將三式相加可證得結(jié)論．

解答：證明：∵a、b、c均為正實(shí)數(shù)．
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立；
三個(gè)不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明，以及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．