Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C₁，所爬的最短路程為2．
（1）求證：D₁E⊥A₁D；
（2）求AB的長(zhǎng)度；
（3）在線(xiàn)段AB上是否存在點(diǎn)E，使得二面角D₁-EC-D的大小為．若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD₁，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知AE⊥平面AD₁，從而AD₁是ED₁在平面AD₁內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形ADD₁A是正方形，則小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C₁可能有兩種途徑，然后比較兩個(gè)路程的大小從而求出AB的長(zhǎng)；
（3）假設(shè)存在連接DE，過(guò)點(diǎn)D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC，連接D₁H，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，在直角三角形EBC中求出BE的長(zhǎng)即可求出所求．
解答：解：（1）證明：連接AD₁，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：
AE⊥平面AD₁，∴AD₁是ED₁在
平面AD₁內(nèi)的射影．又∵AD=AA₁=1，
∴AD₁⊥A₁D
∴D₁E⊥A₁D₁（三垂線(xiàn)定理）

（2）設(shè)AB=x，∵四邊形ADD₁A是正方形，
∴小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到
點(diǎn)C₁可能有兩種途徑，
如圖甲的最短路程為|AC₁|=
如圖乙的最短路程為|AC₁=
∵x＞1
∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4
∴∴x=2（9分）

（3）假設(shè)存在連接DE，設(shè)EB=y，過(guò)點(diǎn)D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC，連接D₁H，則∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，
∴∠D₁HD=（11分）
∴DH=DD₁=1在R△EBC內(nèi)，EC=，而EC•DH=DC•AD
即即存在點(diǎn)E，且了點(diǎn)B為時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三垂線(xiàn)定理的應(yīng)用，以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，同時(shí)考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．