Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整數(shù)），求證：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{b_n}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)；
（3）是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{b_n}中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出一個(gè)q的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

設(shè){a_n}的公差為d，由a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，知d≠0，q≠1，d=a₁（q-1）（a₁≠0）
（1）因?yàn)閎_k=a_m，所以a₁q^k-1=a₁+（m-1）a₁（q-1），q^k-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，
所以Sk-1=

a1(1-qk-1)

1-q

=

a1(m-1-(m-1)q)

q

=(m-1)a1
（2）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），由b₃=a_i，
所以q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因?yàn)閕是正整數(shù)，所以i-2是整數(shù)，即q是整數(shù)，設(shè)數(shù)列{b_n}中任意一項(xiàng)為b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），設(shè)數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）
現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整數(shù)解即可，qn-1=1+(m-1)(q-1)，m-1=

qn-1-1

q-1

=1+q+q2+qn-2，所以m=2+q+q²+q^n-2，若i=1，則q=-1，那么b_2n-1=b₁=a₁，b_2n=b₂=a₂，當(dāng)i≥3時(shí)，因?yàn)閍₁=b₁，a₂=b₂，只要考慮n≥3的情況，因?yàn)閎₃=a_i，所以i≥3，因此q是正整數(shù)，所以m是正整數(shù)，因此數(shù)列{b_n}中任意一項(xiàng)為b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺）與數(shù)列{a_n}的第2+q+q²+q^n-2項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立．
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}中有三項(xiàng)b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差數(shù)列，則有
2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^p-1，設(shè)n-m=x，p-n=y，（x，y∈N⁺），所以2=

1

qx

+qy，令x=1，y=2，則q³-2q+1=0，（q-1）（q²+q-1）=0，因?yàn)閝≠1，所以q²+q-1=0，所以q=

5 -1

2

(舍去負(fù)值)，即存在q=

5 -1

2

使得{b_n}中有三項(xiàng)b_m，b_m+1，b_m+3（m∈N⁺）成等差數(shù)列．