【題目】已知函數(shù)
(1)證明:函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點,且;
(2)證明:函數(shù)于有且僅有兩個零點.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)由導數(shù)的應用,先求函數(shù)的導函數(shù),再研究導函數(shù)的正負號即可,
因為為增函數(shù),因為,,由零點定理運算可得存在唯一的使得,即可得證;
(2)由特值法可得是函數(shù)的一個零點,
再討論當時,由指數(shù)函數(shù)的值域及三角函數(shù)的有界性可得函數(shù)沒有零點;然后討論時,結合(1)及零點定理可得在區(qū)間上有且僅有一個零點,在無零點,綜上即可得證.
證明:(1)由.
令,
當時,函數(shù)為增函數(shù),指數(shù)函數(shù)也為增函數(shù),
故當時,函數(shù)為增函數(shù).
又因為,可得,
有,
,
故存在唯一的使得.
所以當時,,即;
當時,,即,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,
所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點,且
(2)①由,可得是函數(shù)的一個零點;
②當時,,,可得,此時函數(shù)沒有零點;
③當時,由,
由(1)知,,可得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,在無零點,
綜上,函數(shù)有且僅有兩個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)判斷函數(shù)的單調性(只寫出結論即可);
(3)若對任意的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題的真假.
(1)過不在平面內的一點,有且只有一個平面與這個平面平行;
(2)過不在平面內的一條直線,有且只有一個平面與這個平面平行;
(3)給定兩個平行平面中一個平面內的一條直線,則在另一個平面內有且只有一條直線與這條直線平行.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年,隨著中國第一款5G手機投入市場,5G技術已經進入高速發(fā)展階段.已知某5G手機生產廠家通過數(shù)據(jù)分析,得到如下規(guī)律:每生產手機萬臺,其總成本為,其中固定成本為800萬元,并且每生產1萬臺的生產成本為1000萬元(總成本=固定成本+生產成本),銷售收入萬元滿足
(1)將利潤表示為產量萬臺的函數(shù);
(2)當產量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足,且.
(1)求的解析式;
(2)設函數(shù),當時,求的最小值;
(3)設函數(shù),若對任意,總存在,使得成立,求m的取值范圍.
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【題目】棉花的纖維長度是棉花質量的重要指標,在一批棉花中隨機抽測了60根棉花的纖維長度(單位:mm),按從小到大排序結果如下:
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265
293 293 294 296 301 302 303 305 305 306
321 323 325 326 328 340 343 346 348 350
352 355 357 357 358 360 370 380 383 385
(1)請你選擇合適的組距,作出這個樣本的頻率分布直方圖,分析這批棉花纖維長度分布的特征;
(2)請你估計這批棉花的第5,95百分位數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進行談判,通過談判他們握手言和,準備一起照合影像(排成一排).
(1)要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰,有多少種排法?
(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰,有多少種排法?
(3)記灰太狼和紅太狼之間的喜羊羊家族的成員個數(shù)為,求的概率分布表和數(shù)學期望.
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