Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

5

6

且對任意非零自然數(shù)n都有a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹．?dāng)?shù)列{b_n}對任意非零自然數(shù)n都有b_n=a_n+1-

1

2

a_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義找尋數(shù)列中相鄰項之間的關(guān)系，從而確定出數(shù)列的等比性是解決本題的關(guān)鍵，要用好數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系．
（2）利用數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，先寫出數(shù)列{b_n}的通項公式，進(jìn)而得出數(shù)列{a_n}與{b_n}的關(guān)系，進(jìn)而寫出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）證明：b_n=a_n+1-

1

2

a_n=[

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹]-

1

2

a_n=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，b_n+1=（

1

2

）ⁿ⁺²-

1

6

a_n+1=（

1

2

）ⁿ⁺²-

1

6

[

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹]=

1

2

•（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

18

a_n-

1

6

•（

1

2

）ⁿ⁺¹=

1

3

•（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

18

a_n=

1

3

•[（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n]，
∴

bn+1

bn

=

1

3

（n=1，2，3，…）．
∴{b_n}是公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（2）解：∵b₁=（

1

2

）²-

1

6

a₁=

1

4

-

1

6

•

5

6

=

1

9

，
∴b_n=

1

9

•（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ⁺¹．
由b_n=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，得（

1

3

）ⁿ⁺¹=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，解得a_n=6[（

1

2

）ⁿ⁺¹-（

1

3

）ⁿ⁺¹]．

點評：本題考查等比數(shù)列的判定，利用相鄰項之間的關(guān)系確定出后一項與這一項的商為常數(shù)，考查等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算化簡能力．