Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為{S_n}，又有數(shù)列{b_n}滿足關(guān)系b₁=a₁，對n∈N^*，有a_n+S_n=n，b_n+1=a_n+1-a_n
（1）求證：{b_n}是等比數(shù)列，并寫出它的通項公式；
（2）是否存在常數(shù)c，使得數(shù)列{S_n+cn+1}為等比數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+S_n=n，可求得2a_n+1=a_n+1，在a_n+S_n=n中令n=1可求得a₁，即b₁，由，可證明：{b_n}是等比數(shù)列，從而可得其通項公式；
（2）由可求得：a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，2a_n+1=a_n+1，可求得，可求得，問題即可解決．
解答：解：（1）由，又（3分）
∴，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且（6分）
（2）a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，∴（8分）
∴（10分）
依題意，存在c=-1，使得數(shù)列{S_n+cn+1}為等比數(shù)列．   （12分）
點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式，著重考查學(xué)生綜合應(yīng)用與轉(zhuǎn)化的能力，屬于難題．