Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x-1}{x}$．
①判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
②判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
③若x∈[3，5]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 ①由已知中函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
②求導(dǎo)，根據(jù)當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
③由②可得x∈[3，5]時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．

解答 解：①∵函數(shù)f（x）=$\frac{2x-1}{x}$的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
但f（-x）=$\frac{-2x-1}{-x}$=2+$\frac{1}{x}$，
與f（x）=$\frac{2x-1}{x}$=2-$\frac{1}{x}$，
即不恒相等，也不恒相反，
故函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，理由如下：
∵f（x）=$\frac{2x-1}{x}$=2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
③由②可得x∈[3，5]時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
故當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值$\frac{5}{3}$，當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)有最大值$\frac{9}{5}$，
故x∈[3，5]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇$\frac{5}{3}$，$\frac{9}{5}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．