Question

1．已知命題P：直線2x-y=0與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）沒有公共點，命題q：直線x+ny-2n=0與焦點在x軸上的橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{m^2}=1（{m＞0}）$恒有公共點，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q是真命題時的m的范圍，通過討論p真q假，p假q真的情況，從而得到m的范圍．

解答 解：命題P真：直線2x-y=0與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）沒有公共點，
如圖，直線2x-y=0在兩條漸近線y=±$\frac{m}{4}$之間或與漸近線重合，$\frac{m}{4}≤2$，∴0＜m≤8．

命題q真：直線x+ny-2n=0與焦點在x軸上的橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{m^2}=1（{m＞0}）$恒有公共點，
∵直線x+ny-2n=0過定點（0，2）
點（0，2）在橢圓內部或橢圓上即可2≤m＜4．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴p真q假 或 q假p真．
p真q假時，0＜m≤8且m＜2或m≥4．⇒0＜m＜2或4≤m≤8，
q假p真時，2≤m＜4且m＜0或m＞8．⇒m∈∅．
綜上m的取值范圍：0＜m＜2或4≤m≤8．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查了分類討論思想，是一道中檔題．