Question

10．已知函數f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$．
（1）求f[f（2）]的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明．

Answer 1

分析 （1）代入求值即可；
（2）用定義法，先看定義域是否關于原點對稱，再研究f（-x）與f（x）的關系．若相等，則為偶函數；若相反，則為奇函數．

解答 解：（1）∵f（2）=$\frac{2×2}{{2}^{2}-1}$=$\frac{4}{3}$，
∴f[f（2）]=$\frac{2×\frac{4}{3}}{（\frac{4}{3}）^{2}-1}$=$\frac{24}{7}$；
（2）f（x）是奇函數．理由如下：
∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$的定義域是x≠±1．
又f（-x）=$\frac{-2x}{（-x）^{2}-1}$=-$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$，即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數．

點評 本題主要考查函數奇偶性的判斷，函數的值．證明函數的寄偶性時，一般用定義．