Question

設(shè)命題P：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切實(shí)數(shù)均成立，若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,函數(shù)的定義域及其求法,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對于命題P：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a），分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域?yàn)镽，則

a＞0 △=1- 1 4 a2＜0

，即可解得a的取值范圍．對于命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切實(shí)數(shù)均成立，可得a＞[3^x-9^x]_max，x∈R．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．由于命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：對于命題P：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a），當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lg（-x），其定義域不為R，應(yīng)舍去；
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域?yàn)镽，則

a＞0 △=1- 1 4 a2＜0

，解得a＞2．
命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切實(shí)數(shù)均成立，∴a＞[3^x-9^x]_max，x∈R．
令g（x）=3^x-9^x，x∈R，則g(x)=-(3x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，∴a＞

1

4

．
∵命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，∴p與q必然一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)，

a＞2 a≤ 1 4

，解得a∈∅；
當(dāng)q真p假時(shí)，

a≤2 a＞ 1 4

，解得

1

4

＜a≤2
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

1

4

，2]．
故答案為：(

1

4

，2]．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的有關(guān)知識，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．