已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.

(1)求拋物線C的方程.

(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程.

(3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.

【解析】(1)因為F(0,c)到直線l:x-y-2=0的距離為,即=,所以c=1(注意c>0),可得拋物線C的方程為x2=4y.

(2)設(shè)切點A(x1,y1),B(x2,y2),則=4y1,=4y2.

對x2=4y(即y=x2)求導(dǎo)可得y′=x,切線PA的斜率為=x1,將= 4y1代入整理可得2y1-x0x1+2y0=0①,同理切線PB的斜率為=x2,將=4y2代入整理可得2y2-x0x2+2y0=0②,由①②可得點A(x1,y1),B(x2,y2)都適合方程2y-x0x+2y0=0,也就是當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,直線AB的方程即為2y-x0x+2y0=0.

(3)由拋物線的性質(zhì)可知A(x1,y1),B(x2,y2)到焦點F(0,c)的距離等于到準(zhǔn)線y=-1的距離,所以|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+y1+y2+1.

聯(lián)立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=+-2y0+1.

又y0=x0-2,則+-2y0+1=2+2y0+5=

2+,所以當(dāng)y0=-時,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，橢圓C′的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線C在x軸上的焦點恰好是橢圓C′的焦點
（Ⅰ）若拋物線C和橢圓C′都經(jīng)過點M（1，2），求拋物線C和橢圓C′的方程；
（Ⅱ）已知動直線l過點p（3，0），交拋物線C于A，B兩點，直線l′：x=2被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值，求拋物線C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過A，B的拋物線C的兩條切線的交點E的軌跡為D，直線AB與軌跡D交于點F，求|EF|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣東）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為
3
2
2
，設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；
（3）當(dāng)點P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點為（1，0），焦點在x軸上，若直線y=x+2交拋物線C于A、B兩點，線段AB的中點坐標(biāo)為（5，7），求拋物線C的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•東莞一模）已知拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，若P（2，2）為AB的中點，則拋物線C的方程為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A、B兩點，若P（1，1）為線段AB的中點，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2=2x
y2=2x
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案