Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2，﹣3）是橢圓上兩點(diǎn)，A、B是橢圓位于直線PQ兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，
（i）若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；
（ii）當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)C方程為，則．
由，得a=4
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）（i）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為，代入，得x²+tx+t²﹣12=0
由△＞0，解得﹣4＜t＜4
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=﹣t，x₁x₂=t²﹣12．
四邊形APBQ的面積
∴當(dāng)t=0，．
（ii）解：當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k
則PB的斜率為﹣k，PA的直線方程為y﹣3=k（x﹣2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k²）x²+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）²﹣48=0

同理PB的直線方程為y﹣3=﹣k（x﹣2），
可得
∴

所以AB的斜率為定值．