精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點P在射線OA上運動,動點Q在y軸的正半軸上運動,△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動點,R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個m的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)求出OA的方程,設(shè)出M(x,y),P(a,
3
a),Q(0,b)
,利用中點坐標(biāo)公式,三角形的面積公式,消去a,b得點M的軌跡C的方程.
(2)設(shè)R1(x1,y1),R2(x2,y2),則x1+x2=1,推出u的表達式,令t=x1•x20<t≤
1
4
,推出u=3(t+
2
t
-2)
,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出最大的常數(shù)m=
75
4
使u≥m恒成立.
解答:解:(1)射線OA:y=
3
x(x>0)
.(1分)
設(shè)M(x,y),P(a,
3
a),Q(0,b)
(a>0,b>0),
a=2x,
3
a+b=2y
,(3分)
又因為△POQ的面積為2
3
,
所以ab=4
3
;(4分)
消去a,b得點M的軌跡C的方程為:
3
x2-xy+
3
=0
(x>0,y>0).(7分)
(2)設(shè)R1(x1,y1),R2(x2,y2),則x1+x2=1,(8分)
所以u=y1y2=
3
(x1+
1
x1
)•
3
(x2+
1
x2
)

=3(x1x2+
1
x1x2
+
x2
x1
+
x1
x2
)=3(x1x2+
2
x1x2
-2)
(9分)
令t=x1•x20<t≤
1
4
,所以有u=3(t+
2
t
-2)
,(11分)
則有:當(dāng)0<t≤
1
4
時,u/=3(1-
2
t2
)<0

所以u=3(t+
2
t
-2)
(0,
1
4
]
上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)t=
1
4
時,umin=
75
4
,(13分)
所以存在最大的常數(shù)m=
75
4
使u≥m恒成立.(14分)
點評:本題中檔題,考查與直線有關(guān)的函數(shù)的最值問題曲線的軌跡方程的求法,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,單調(diào)性常常利用導(dǎo)數(shù)求解;考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想,是有難度的中檔題,?碱}型.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中,|OA|=2,| OC |=
3
,點P,Q滿足
OP
=
λOA
AQ
=( 1-λ )
AB
  ( λ∈R )
,點D是C關(guān)于原點的對稱點,直線DP與CQ相交于點M.
(Ⅰ)求點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點(1,0)的直線與點M的軌跡相交于E,F(xiàn)兩點,求△AEF的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•大豐市一模)如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點A作x軸垂線,垂足為C,過點B作y軸垂線,垂足為D,連接AD、DC、CB.
(1)若△ABD的面積為4,求點B的坐標(biāo);
(2)求證:DC∥AB;
(3)四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請求出四邊形ABCD為菱形時,直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請說明理由.

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如圖所示,在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中,|OA|=2,,點P,Q滿足,點D是C關(guān)于原點的對稱點,直線DP與CQ相交于點M.
(Ⅰ)求點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點(1,0)的直線與點M的軌跡相交于E,F(xiàn)兩點,求△AEF的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年高考數(shù)學(xué)模擬試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中,|OA|=2,,點P,Q滿足,點D是C關(guān)于原點的對稱點,直線DP與CQ相交于點M.
(Ⅰ)求點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點(1,0)的直線與點M的軌跡相交于E,F(xiàn)兩點,求△AEF的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省連云港市東海高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前猜題試卷(1)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中,|OA|=2,,點P,Q滿足,,點D是C關(guān)于原點的對稱點,直線DP與CQ相交于點M.
(Ⅰ)求點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點(1,0)的直線與點M的軌跡相交于E,F(xiàn)兩點,求△AEF的面積的最大值.

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