Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

S1

．
（1）求a_n與b_n．
（2）證明：

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

小于

2

3

．

Answer 1

分析：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問題．在解答時：
（1）利用b₂+S₂=12和數(shù)列{b_n}的公比q=

S2

S1

．即可列出方程組求的q、a₂的值，進(jìn)而獲得問題的解答；
（2）首先利用等差數(shù)列的前n項和公式計算出數(shù)列的前n項和，然后利用放縮法即可獲得問題的解答．

解答：解：（I）由已知可得

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

．
解得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6
∴a_n=3+（n-1）3=3n
∴b_n=3^n-1
（2）證明：∵Sn=

n(3+3n)

2

∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2

3

(1-

1

n+1

)
∵n≥1∴0＜

1

n+1

≤

1

2

∴

1

3

≤

2

3

(1-

1

n+1

)＜

2

3

故

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是數(shù)列通項的求法與不等式的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了解方程的思想、前n項和公式以及放縮法等知識．值得同學(xué)們體會反思．