Question

某小區(qū)想利用一矩形空地建市民健身廣場，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中，，且中，，經(jīng)測量得到．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)作一直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場，設(shè)．

（1）將五邊形的面積表示為的函數(shù)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

 

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，到的市民健身廣場面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意分析可考慮作，垂足為，從而可將五邊形的面積轉(zhuǎn)化為梯形與矩形的面積之和，由∽結(jié)合條件，可將梯形的上底，下底與高以及矩形的長和寬都用含的代數(shù)式表示出來，從而可得：，再由，可得；（2）由（1）及條件可知，問題就等價(jià)于求函數(shù)在上的最大值，而將其變形后可得：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，從而當(dāng)時(shí)，到的市民健身廣場面積最大，最大面積為.

試題解析：（1）如圖，作，垂足為，

∵，∴，又由∽，∴，

∵，∴， 2分

過作交于，

則，

所以， 7分

由于與重合時(shí)，適合條件，故； 8分

（2）由（1）得：， 10分

∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值， 13分

即當(dāng)時(shí)，得到的市民健身廣場面積最大，最大面積為． 14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的運(yùn)用；2.基本不等式求最值.