Question

【題目】一兒童游樂場擬建造一個(gè)“蛋筒”型游樂設(shè)施，其軸截面如圖中實(shí)線所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延長線上，α為銳角）．圓E與AD，BC都相切，且其半徑長為100﹣80sinα米．EO是垂直于AB的一個(gè)立柱，則當(dāng)sinα的值設(shè)計(jì)為多少時(shí)，立柱EO最矮？

Answer 1

【答案】解：如圖所示，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
因?yàn)锽（10，0），kBC=tanα，所以直線BC的方程為：y=tanα（x﹣10），即xtanα﹣y﹣10tanα=0．
設(shè)圓心E（0，t），（t＞0），由圓E與直線BC相切，得100﹣80sinα= = ，
所以EO=t= ，
令f（α）= ，α∈（0， ），則f′（α）= ，
設(shè)sinα0= ，α0∈（0， ）．列表如下：

α	（0，α0）	α0	（α0 ， ）
f′（α）	﹣	0	+
f（α）	減	極小值	增

所以當(dāng)α=α0 ， 即sin 時(shí)，f（α）取最小值．
答：當(dāng)sin 時(shí)，立柱EO最矮．
【解析】以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由已知可求直線BC的方程為：xtanα﹣y﹣10tanα=0，設(shè)圓心E（0，t），（t＞0），由圓E與直線BC相切，可求EO=t= ，令f（α）= ，α∈（0， ），則f′（α）= ，設(shè)sinα0= ，α0∈（0， ）．列表可求EO的最小值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定理:．