Question

已知一次函數(shù)f（x）=ax+b與二次函數(shù)g（x）=ax²+bx+c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B；
（2）設(shè)A₁，B₁是A，B兩點(diǎn)在x軸上的射影，求線段A₁B₁長(zhǎng)的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)x≤-

3

時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立．

Answer 1

分析：（1）若a＞b＞c，且a+c+b=0，可得a＞0＞c，令G（x）=f（x）-g（x）=0，判斷判別式△=（b-a）²-4ac＞0即可
（2））由設(shè) A（x₁，0），B（x₂，0）根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，AB=|x2-x1|=

(x2+x1)2-4x1x2

，結(jié)合a+b+c=0，a＞0＞c進(jìn)行判斷．
（3）要證當(dāng)x≤-

3

時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，即要證ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)即可證得結(jié)果．

解答：解：（1）證明：由

y=ax+b y=ax2+bx+c

得ax²+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有兩個(gè)不等的根
∴函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
設(shè)A₁（x₁，0）B₁（x₂，0）
∴|A₁B₁|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c-b a

=

( c a -2) 2-4

，
易得

9

4

＜|A₁B₁|²＜12
即

3

2

＜|A₁B₁|＜2

3

．
（3）令h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，
對(duì)稱軸為x=

a-b

2a

=

2a+c

2a

=1+

c

2a

＞0，
∴h（x）在（-∞，-

3

]上單調(diào)遞增，且h（-

3

）=（2+

3

）（2a+c）=（2+

3

）a（2+

c

a

）＞0
∴h（x）=ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，
即當(dāng)x≤-

3

時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題的考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合利用二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)證明問(wèn)題的能力，本題在解題中技巧性很強(qiáng)，如（1）中消去參數(shù)b利于確定判別式的范圍，（2）中靈活運(yùn)用a＞b＞c且a+b+c=0來(lái)確定

c

a

的范圍，此類技巧的運(yùn)用需要平時(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，題后應(yīng)對(duì)這些變形的技巧的變形過(guò)程及變形后達(dá)到目標(biāo)進(jìn)行細(xì)致的分析，力爭(zhēng)能把握此類技巧的使用．考查函數(shù)與方程 的轉(zhuǎn)化，方程的根與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的圖象與x軸相交的線段的長(zhǎng)度的求解，知識(shí)比較多，是一道綜合性比較好的試題，體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化．