已知長方體中,底面為正方形,面,,,點(diǎn)在棱上,且.
(Ⅰ)試在棱上確定一點(diǎn),使得直線平面,并證明;
(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi),且,請(qǐng)說明點(diǎn)的軌跡,并探求長度的最小值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心,半徑等于2的四分之一圓弧,且長度的最小值為.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先利用證明四邊形為平行四邊形證明從而證明直線平面,或者可以以平面為已知條件出發(fā),利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到,進(jìn)而確定點(diǎn)的位置;(Ⅱ)先確定四邊形的形狀以及各邊的長度,然后再根據(jù)以及點(diǎn)為定點(diǎn)這一條件確定點(diǎn)的軌跡,在計(jì)算的過程中,可以利用平面以及從而得到平面,于是得到,進(jìn)而可以由勾股定理,從而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)取到最小值時(shí),取到最小值.
試題解析:(Ⅰ)取的四等分點(diǎn),使得,則有平面. 證明如下: 1分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image026.png">且,
所以四邊形為平行四邊形,則, 2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image030.png">平面,平面,所以平面. 4分
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image032.png">,所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心,半徑等于2的四分之一圓。 6分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image033.png">,面,所以面, 7分
故. 8分
所以當(dāng)的長度取最小值時(shí),的長度最小,此時(shí)點(diǎn)為線段和四分之一圓弧的交點(diǎn), 10分
即,
所以.
即長度的最小值為. 12分
考點(diǎn):直線與平面平行、勾股定理、點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
一個(gè)建筑物上部為四棱錐,下部為長方體,且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣,已知長方體的長、寬、高分別為20m,5m,10m,四棱錐的高為8m,若按1500的比例畫出它的直觀圖,那么直觀圖中,長方體的長、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為( )
A.4cm,1cm,2cm,1.6cm
B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm
C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm
D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省六校聯(lián)合體高二元月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:選擇題
已知在長方體ABCDA1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是( )
A . B. C. D.
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