Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）若點M在線段AC上，且滿足，求證：EM∥平面FBC；
（Ⅲ）試判斷直線AF與平面EBC是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證BC⊥AF，轉(zhuǎn)化為證明直線BC⊥平面EABF，再轉(zhuǎn)化為EA⊥平面ABCD即可；
（II）過M作MN⊥BC，垂足為N，連結(jié)FN，則MN∥AB，又可得EF∥MN，從而四邊形EFNM為平行四邊形，所以EM∥FN，最后根據(jù)線面平行的判定定理，即可得到EM∥平面FBC．
（Ⅲ）判斷結(jié)論是：直線AF垂直于平面EBC．由（Ⅰ）可知，AF⊥BC，再利用平面幾何知識得出EB⊥AF，最后利用直線與平面垂直的判定定理即可得出AF⊥平面EBC．
解答：解：（Ⅰ）因為EF∥AB，所以EF與AB確定平面EABF，
因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC．…（2分）
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A，
所以BC⊥平面EABF．…（3分）
又AF?平面EABF，
所以BC⊥AF．…（4分）
（Ⅱ）過M作MN⊥BC，垂足為N，連結(jié)FN，則MN∥AB．…（5分）
又，所以．
又EF∥AB且，所以EF∥MN．…（6分）
且EF=MN，所以四邊形EFNM為平行四邊形．…（7分）
所以EM∥FN．
又FN?平面FBC，EM?平面FBC，
所以EM∥平面FBC．…（9分）
（Ⅲ）直線AF垂直于平面EBC．…（10分）
證明如下：
由（Ⅰ）可知，AF⊥BC．
在四邊形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°，
所以，則∠EBA=∠FAE．
設(shè)AF∩BE=P，因為∠PAE+∠PAB=90°，故∠PBA+∠PAB=90°
則∠APB=90°，即EB⊥AF．…（12分）
又因為EB∩BC=B，所以AF⊥平面EBC．…（13分）
點評：本題考查線面平行的判定定理及線面垂直的性質(zhì)，理解相關(guān)定理的內(nèi)容是解決該類題目的基礎(chǔ)．