已知函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1．
（I）求f（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面積為
3
3
4
．求邊長a．
分析：（I）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出求f（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的值域；
（Ⅱ）由f（A）=1，根據(jù)第一問確定的解析式，求出A的度數(shù)，利用正弦定理化簡sinB=3sinC，得到b=3c，利用三角形的面積公式列出關(guān)系式，將b=3c，sinA以及已知面積代入求出c的值，進(jìn)而確定出b的值，利用余弦定理即可求出a的值．
解答：解：（I）f（x）=
3
sin2x+cos2x=2（
3
2
sin2x+
1
2
cos2x）=2sin（2x+
π
6
），
∵x∈[0，
π
3
]，
∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
5π
6
]，
∴sin（2x+
π
6
）∈[
1
2
，1]，
則f（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的值域?yàn)閇1，2]；
（Ⅱ）由f（A）=1，得到2sin（2A+
π
6
）=1，
即sin（2A+
π
6
）=
1
2
，
∵A為三角形的內(nèi)角，
∴2A+
π
6
=
5π
6
，即A=
π
3
，
利用正弦定理化簡sinB=3sinC得：b=3c，
∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
3
4
，
即
3
4
×3c2=
3
3
4
，
解得：c=1，
∴b=3，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=9+1-3=7，
則a=
7
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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