Question

8．坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸半軸為極軸）中直線(xiàn)l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲線(xiàn)C在極坐標(biāo)系中的方程；
（2）求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）把曲線(xiàn)C的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)θ，化為普通方程，再根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，化為極坐標(biāo)方程．
（2）把直線(xiàn)和圓的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求得弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C的普通方程為（x-2）²+y²=4，
即x²+y²-4x=0，將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程x²+y²-4x=0化簡(jiǎn)得ρ=4cosθ．
所以，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．
（2）∵直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$得直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，2），B（4，0），
所以弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，求直線(xiàn)和圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．