Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=-時，方程f（1-x）=有實根，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)求導，由x=2為f（x）的極值點，可得f'（2）=0，代入可求a
（2）由題意可得在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，①當a=0時，容易檢驗是否符合題意，②當a≠0時，由題意可得必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，則a＞0，從而2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0對x∈[3，+∞0上恒成立．考查函數(shù)g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（3）由題意可得．問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
方法1：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），對函數(shù)h（x）求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進而可求
方法2：對函數(shù)g（x）=x（lnx+x-x²）求導可得g'（x）=lnx+1+2x-3x²．由導數(shù)知識研究函數(shù)p（x）=lnx+1+2x-3x²，的單調(diào)性可求函數(shù)g（x）的零點，即g'（x）=0，從而可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合，可知x→0時，lnx+＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值
解答：解：（1）=．…（1分）
因為x=2為f（x）的極值點，所以f'（2）=0．…（2分）
即，解得a=0．…（3分）
又當a=0時，f'（x）=x（x-2），從而x=2為f（x）的極值點成立．…（4分）
（2）因為f（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)，
所以在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．…（5分）
①當a=0時，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以fx）在[3，+∞上為增函數(shù)，故a=0符合題意．…（6分）
②當a≠0時，由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0對x∈[3，+∞0上恒成立．…（7分）
令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其對稱軸為，…（8分）
因為a＞0所以，從而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
因為g（3）=-4a²+6a+1≥0，
解得．…（9分）
因為a＞0，所以．
綜上所述，a的取值范圍為．…（10分）
（3）若時，方程x＞0可化為，．
問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．…（11分）
以下給出兩種求函數(shù)g（x）值域的方法：
方法1：因為g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
則，…（12分）
所以當0＜x＜1，h^′（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當x＞1，h^′（x）＜0，從而h（x'）在（1，+∞上為減函數(shù)，…（13分）
因此h（x）≤h（1）=0．
而，故b=x•h（x）≤0，
因此當x=1時，b取得最大值0．…（14分）
方法2：因為g（x）=x（lnx+x-x²），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x²．
設p（x）=lnx+1+2x-3x²，則．
當時，p'（x）＞0，所以p（x）在上單調(diào)遞增；
當時，p'（x）＜0，所以p（x）在上單調(diào)遞減；
因為p（1）=0，故必有，又，
因此必存在實數(shù)使得g'（x）=0，
∴當0＜x＜x時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x）上單調(diào)遞減；
當x＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
又因為，
當x→0時，lnx+＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0．
因此當x=1時，b取得最大值0．…（14分）
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)極值的應用，及利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值的求解，解答本題要求考生具備較強的邏輯推理與運算的能力