Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-xe^x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=-xe^x，利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由函數(shù)f（x）=e^x-xe^x-1的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），能求出函數(shù)f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-xe^x-1，
∴f′（x）=e^x-e^x-xe^x=-xe^x，
由f′（x）=-xe^x=0，解得x=0，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．
（2）∵函數(shù)f（x）=e^x-xe^x-1的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
∴函數(shù)f（x）的最大值f（x）_max=f（0）=e⁰-0e⁰-1=0．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．