Question

17．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的多面體中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．
（Ⅰ）請?jiān)趫D中作出平面α，使得DE?α，且BF∥α，并說明理由；
（Ⅱ）求直線EF與平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中點(diǎn)G，連接EG，DG，證明平面ABF∥平面EDG，可得結(jié)論；
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直線EF與平面BCE所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)G，連接EG，DG，則平面EDG為所求．
∵AD=2，BG=2，AD∥BC，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，
∴AB∥DG，
∵AB?平面EDG，DG?平面EDG，
∴AB∥平面EDG．
同理AF∥平面EDG，
∵AB∩AF=A，
∴平面ABF∥平面EDG，
∵FB?平面ABF，
∴BF∥平面EDG；
（Ⅱ）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為y軸，AF為z軸，過A垂直于AD的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則F（0，0，4），E（0，2，1），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，3，0），
∴$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，3），$\overrightarrow{BC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{3}$，3，1），
設(shè)平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{-\sqrt{3}x+3y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，3），則直線EF與平面BCE所成角的正弦值=$\frac{9}{\sqrt{4+9}•\sqrt{3+9}}$=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面是否平行的判斷與證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．