Question

（2013•深圳二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn) M 到點(diǎn) F（0，1）的距離與到直線 y=4 的距離之和為 5．
（1）求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡 E 的方程，并畫(huà)出圖形；
（2）若直線 l：y=x+m 與軌跡 E 有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) A、B，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求弦長(zhǎng)|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的等式，化簡(jiǎn)整理得到x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4），從而得到軌跡是由兩個(gè)拋物線弧連接而成，其圖形如圖所示；
（2）根據(jù)軌跡E的形狀，直線l：y=x+m分別將與拋物線段E₁：y=

1

4

x2（-4≤x≤4）和y=-

1

16

x2+5（（-4≤x≤4）聯(lián)解，得到直線l與軌跡E有唯一公共點(diǎn)的兩個(gè)界點(diǎn)處m的值，再將直線l平移進(jìn)行觀察，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，將兩個(gè)拋物線段E₁與E₂的方程與直線l方程聯(lián)解，可得交點(diǎn)A．B的橫坐標(biāo)關(guān)于m的式子，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式算出|AB|=

2

（x_B-x_A）=2

2

（

1+m

+2

9-m

-5）．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究f（m）=

1+m

+2

9-m

（0≤m＜8）的單調(diào)性，即可得到當(dāng)m=1時(shí)，|AB|的最大值為20-10

2

．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意得M的坐標(biāo)滿足

x2+(y-1)2

+|y-4|=5
化簡(jiǎn)整理，得x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4）
其圖形是拋物線y=

1

4

x2和y=-

1

16

x2+5位于-4≤x≤4的部分，如右圖所示
（2）設(shè)拋物線y=

1

4

x2和y=-

1

16

x2+5位于-4≤x≤4的部分，分別記為
曲線E₁和E₂，可得E₁與E₂的公共點(diǎn)分別為C（-4，4）和D（4，4）
當(dāng)直線l：y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-4，4），m=8
則由

y=x+8 y=- x2 16 +5

，解得

x=-4 y=4

或

x=-12 y=-4

∵點(diǎn)（-12，4）不是拋物線段E₂上的點(diǎn)
∴要使直線l：y=x+m與軌跡E有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，必須m＜8
當(dāng)線l：y=x+m與拋物線y=

1

4

x2相切時(shí)，聯(lián)解直線與拋物線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），可得m=-1
因?yàn)榍悬c(diǎn)（2，1）在曲線E₁上，所以要使直線l：y=x+m與軌跡E有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，必須m＞-1．
綜上所述，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1，-8）；
（3）當(dāng)-1≤m＜0時(shí)，直線l與軌跡E的兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B均在拋物線段E₁上，且0＜|AB|≤OD=4

2

當(dāng)0≤m＜8時(shí)，直線l與軌跡E的兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B分別在拋物線段E₁上和拋物線段E₂上，
且A點(diǎn)是直線l與拋物線y=

1

4

x2的兩個(gè)交點(diǎn)中位于左下方的點(diǎn)，
B點(diǎn)是直線l與拋物線y=-

1

16

x2+5的兩個(gè)交點(diǎn)中位于右上方的點(diǎn)（如圖所示）
由

y=x+m y= x2 4

，解之得x=2±2

1+m

，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x_A=2-2

1+m

，
由

y=x+m y=- x2 16 +5

，解之得x=-8±4

9-m

，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x_B=-8+4

9-m

．
∴|AB|=

2

（x_B-x_A）=2

2

（

1+m

+2

9-m

-5）
令f（m）=

1+m

+2

9-m

（0≤m＜8）
由f'（m）=

1

2 1+m

-

1

9-m

=

9-m -2 1+m

2 1+m 9-m

=

5(1-m)

2 1+m 9-m ( 9-m +2 1+m )

∴當(dāng)m∈[0，1）時(shí)，f'（m）＞0，f（m）是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)m∈（1，8）時(shí)，f'（m）＜0，f（m）是單調(diào)減函數(shù)
因此，當(dāng)m=1時(shí)，f（m）取得最大值[f（m）]_max=f（1）=5

2

，
即當(dāng)m=1時(shí)，|AB|的最大值為20-10

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件，求M的軌跡方程，并討論了直線l與M的軌跡相交截得弦AB長(zhǎng)度最大值．著重考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和軌跡方程的討論等知識(shí)，屬于中檔題．