Question

已知，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為

3

，以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，球面被正方體的側(cè)面BCC₁B₁，ABB₁A₁截得的兩段弧分別為

GF

，

FE

（如圖所示），則這兩段弧的長(zhǎng)度之和等于

5 3 π

6

．

Answer 1

分析：球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空間幾何知識(shí)能求出這兩段弧的長(zhǎng)度之和．

解答：解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，
所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過(guò)球心A的大圓上，因?yàn)锳E=2×

3

3

，AA₁=1，
則∠A₁AE=π/6．同理∠BAF=

π

6

，所以∠EAF=

π

6

，
故弧EF的長(zhǎng)為：2×

3

3

×

π

6

=

3 π

9

，
而這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，
此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為

3

3

，∠FBG=

π

2

，
所以弧FG的長(zhǎng)為：

3

3

×

π

2

=

3 π

6

．
這樣的弧也有三條．于是，所得的曲線長(zhǎng)為：
3×

3 π

9

+3×

3 π

6

=

5 3 π

6

．
故答案為：

5 3 π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．