Question

直線

3

ax+by=1與圓x²+y²=2相交于A，B兩點(diǎn)（a，b∈R），且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離的最大值是（　�。�

• A、

  17

  4

• B、4
• C、2
• D、

  7

  3

Answer 1

分析：根據(jù)AOB是直角三角形推斷出該三角形為直角三角形，進(jìn)而可求得心到直線的距離利用點(diǎn)到直線的距離求得a和b的關(guān)系，可推斷出點(diǎn)P的軌跡為橢圓，然后利用消元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求出最值即可．

解答：解：∵△AOB是直角三角形，
∴圓心到直線的距離d=1，即

1

3a2+b2

=1，整理得3a²+b²=1，
∴P點(diǎn)的軌跡為橢圓，
點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離d=

(a-0)2+(b-1)2

=

a2+b2-2b+1

=

2 3 b2-2b+ 4 3

，
設(shè)f（b）=

2

3

b2-2b+

4

3

，此函數(shù)為對(duì)稱軸為b=

3

2

的開口向上的拋物線，
∴當(dāng)-1≤b≤1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
∴點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離的最大值是2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的相交的性質(zhì)，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)最值，轉(zhuǎn)化和化歸的思想的應(yīng)用．屬于中檔題．