Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求所有的實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+1圖象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=4時(shí)，f（x）=

x2-2x，x≥4 6x-x2，x＜4

，由此能求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，當(dāng)x∈[1，2]恒成立，由此能求出所有的實(shí)數(shù)a．
（3）當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a∈（2，4]時(shí)和當(dāng)a∈[-4，-2）時(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)化f（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性能得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|+2x=

x2-2x，x≥4 6x-x2，x＜4

，
當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=x²-2x的增區(qū)間是[4，+∞），無(wú)減區(qū)間．
當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=6x-x²增區(qū)間是（-∞，3]，減區(qū)間是[3，4]，
綜上所述，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[3，4]．…（4分）
（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，當(dāng)x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，
x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a，且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]時(shí)，只要x-

1

x

的最大值小于a，
且x+

1

x

的最小值大于a即可，…（6分）
而當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，（x-

1

x

）′=1+

1

x2

＞0，x-

1

x

為增函數(shù)，(x-

1

x

)max=

3

2

；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，（x+

1

x

）′=1-

1

x2

＞0，x+

1

x

為增函數(shù)，（x+

1

x

）_min=2，
所以

3

2

＜a＜2．…（10分）
（3）當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，
則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，…（11分）
則當(dāng)a∈（2，4]時(shí)，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a時(shí)，f（x）=x²+（2-a）x，對(duì)稱軸x=

a-2

2

＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a時(shí)，f（x）=-x²+（2+a）x，對(duì)稱軸x=

a+2

2

＜a，
則f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?∞，

(a+2)2

4

]，
f（x）在x∈[

a+2

2

，a）為減函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，
則2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，
令g（a）=

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數(shù)，
∴(g(a))max=g(4)=

9

8

，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，

9

8

）；…（15分）
同理可求當(dāng)a∈[-4，-2）時(shí)，t的取值范圍為（1，

9

8

）；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，

9

8

）．…（17分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．