Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），且b₁=5．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）結(jié)合已知條件可得a₁=S₁=2．利用地推公式a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，再由b_n+1=2b_n-1，
得b_n+1-1=2（b_n-1），由等比數(shù)列的定義可得{b_n-1}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．從而可求b_n-1進(jìn)一步可得b_n=2ⁿ⁺¹+1．
（Ⅱ）由=，利用裂項(xiàng)求和可求先求T_n，進(jìn)一步可證
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
當(dāng)n=1時(shí)，2n=2=a₁． 所以a_n=2n．（3分）
由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），又b₁-1=4≠0，
所以{b_n-1}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
所以b_n-1=（b₁-1）2^n-1=2ⁿ⁺¹．
所以b_n=2ⁿ⁺¹+1．（6分）
（Ⅱ）證明：==．（9分）
故
==（12分）
所以．（13分）
點(diǎn)評(píng)：（1）形如a_n=pa_n-1+q型的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解一般構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)行求解，體現(xiàn)了構(gòu)造特殊數(shù)列的方法在解題中的應(yīng)用
（2）裂項(xiàng)求和的方法要注意裂項(xiàng)相消后剩余的項(xiàng)有幾個(gè)，這也是此類問(wèn)題中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方