Question

3．已知定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0，且不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$），則x的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）可化為：$\frac{1}{3}$＞2x-1＞0，解得答案．

解答 解：∵對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）可化為：
$\frac{1}{3}$＞2x-1＞0，
解得：x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$），
故選：A

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，是解答的關鍵．