Question

已知函數(shù)在處取得極小值2．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）設(shè)函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值-2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值2

（3）

【解析】

試題分析：（1）∵函數(shù)在處取得極小值2，

∴，                                                                     ……1分

又，

∴      

由②式得m=0或n=1，但m=0顯然不合題意，

∴，代入①式得m=4   

∴                                                                      ……2分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值2，                         ……3分

∴函數(shù)的解析式為.                                              ……4分

（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041717024057037901/SYS201304171703556953608701_DA.files/image013.png">且由（1）有,

令，解得： ,                                                      ……5分

∴當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：                                        ……7分

x		-1		1
	—	0	+	0	—
	減	極小值-2	增	極大值2	減

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值-2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值2,               ……8分

（3）依題意只需即可．

∵函數(shù)在時(shí)，；在時(shí)，且,

∴ 由（2）知函數(shù)的大致圖象如圖所示：

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值-2,                                               ……9分

又對任意，總存在，使得,

∴當(dāng)時(shí)，的最小值不大于-2,                                         ……10分

又      

①當(dāng)時(shí)，的最小值為,

∴得；                                                         ……11分

②當(dāng)時(shí)，的最小值為

∴得；                                                           ……12分

③當(dāng)時(shí)，的最小值為

∴得或

又∵

∴此時(shí)a不存在,                                                                  ……13分

綜上所述，a的取值范圍是．                                       ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)（尤其是單調(diào)性、極值、最值等）的有力工具，要靈活應(yīng)用.求函數(shù)的極值時(shí)，要先求導(dǎo)數(shù)再求極值點(diǎn)，這是最好列出表格，清楚直觀，求函數(shù)的最值時(shí)，一般要涉及到分類討論，分類討論時(shí)要做到分類標(biāo)準(zhǔn)不重不漏.