Question

【題目】已知圓C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0（a∈R）． （Ⅰ） 若a=1，求直線y=x被圓C所截得的弦長；
（Ⅱ） 若a＞1，如圖，圓C與x軸相交于兩點M，N（點M在點N的左側(cè)）．過點M的動直線l與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點．問：是否存在實數(shù)a，使得對任意的直線l均有∠ANM=∠BNM？若存在，求出實數(shù)a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 當a=1時，圓C：x2﹣2x+y2﹣y+1=0， 圓心C（1， ），半徑r= = ，
圓心C（1， ）到直線y=x的距離d= = ，
∴直線y=x被圓C所截得的弦長為：2 = ．
（Ⅱ）令y=0，得x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，解得x=1，或x=a，
∴M（1，0），N（a，0）．
假設(shè)存在實數(shù)a，當直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1），
代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），從而 ，x1x2= ．
∵NA、NB的斜率之和為 + = ，
而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）
=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a= +2a= ，
∵∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互為相反數(shù)， =0，即 =0，得a=4．
當直線AB與x軸垂直時，仍然滿足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互為相反數(shù)．
綜上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM
【解析】（Ⅰ）當a=1時，求出圓心C（1， ），半徑r= ，求出圓心C到直線y=x的距離，由此利用勾股定理能求出直線y=x被圓C所截得的弦長．（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假設(shè)存在實數(shù)a，當直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1），代入x2+y2=4，利用韋達定理，根據(jù)NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．經(jīng)過檢驗，當直線AB與x軸垂直時，這個a值仍然滿足∠ANM=∠BNM，從而得出結(jié)論．