Question

已知函數(shù)，函數(shù)．
（1）若函數(shù)y=g（mx²+2x+m）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)y=g[f（x²）]的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）①當(dāng)m=0時(shí)，滿(mǎn)足條件；
②當(dāng)m≠0時(shí)，有
綜上可得，0≤m≤1．
（2）令，則y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²
①當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，h（a）=3-a²
③當(dāng)a＞3時(shí)，h（a）=12-6a
故h（a）=；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足條件，則有0≤m＜n，
化簡(jiǎn)可得函數(shù)表達(dá)式為y=x²，則函數(shù)在[m，n]上單調(diào)遞增，
故值域?yàn)閇m²，n²]=[2m，2n]
解得m=0，n=2
故存在m=0，n=2滿(mǎn)足條件．
分析：（1）欲使函數(shù)y=g（mx²+2x+m）的值域?yàn)镽，只需要內(nèi)層函數(shù)的值域中包含了全體正數(shù)，當(dāng)m=0時(shí)顯然滿(mǎn)足，當(dāng)m不為0時(shí)，內(nèi)層函數(shù)為二次函數(shù)，需要開(kāi)口向上且判別式大于等于0，即可滿(mǎn)足要求．
（2）x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的最值一般分兩步來(lái)求，第一步求內(nèi)層函數(shù)的值域，第二步研究外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的最值，本題內(nèi)層函數(shù)的值域是確定的一個(gè)集合，而外層函數(shù)是一個(gè)系數(shù)有變量的二次函數(shù)，故本題是一個(gè)區(qū)間定軸動(dòng)的問(wèn)題．
（3）假設(shè)存在，先求出函數(shù)y=g[f（x²）]的解析式，為y=x²，則函數(shù)在[m，n]上單調(diào)增，故有[m²，n²]=[2m，2n]解出m，n的值說(shuō)明假設(shè)成立，若解不出，則說(shuō)明假設(shè)不成立．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了恒成立的問(wèn)題，用分段函數(shù)表示函數(shù)的最小值，以及判斷存在性的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，綜合性強(qiáng)．