Question

（2010•崇明縣二模）已知雙曲線

x2

12

-

y2

4

=1的右焦點(diǎn)為F（c，0），點(diǎn)P到F（c，0）的距離比到直線x+5=0的距離少1，則點(diǎn)P的軌跡方程為

y²=16x

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線方程，求出它的半焦距，得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（4，0），將直線x+5=0右移一個(gè)單位，可得點(diǎn)P到F（4，0）的距離等于P到直線x+4=0的距離，符合拋物線的定義．因此設(shè)所求軌跡為y²=2px（p＞0），再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出p值，從而得出拋物線的方程，即為所求的軌跡方程．

解答：解：由雙曲線

x2

12

-

y2

4

=1得：c=

12+4

=4
所以焦點(diǎn)為F（4，0），
點(diǎn)P到F（4，0）的距離比到直線x+5=0的距離少1，
即點(diǎn)P到F（4，0）的距離等于P到直線x+4=0的距離
根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，
直線x+4=0為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)方程為y²=2px（p＞0）
∵

p

2

=4
∴2p=16
所求拋物線的方程為y²=16x
故答案為：y²=16x

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線的綜合題，屬于中檔題．熟練掌握雙曲線的基本量和拋物線的定義，是解決好本題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想．