已知函數(shù)f(x)=log2
1+x1-x
                                                
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明;
(3)判斷f(x)在的單調(diào)性,并用定義證明.
(4)求使f(x)>0的x的取值范圍.
分析:(1)直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0解分式不等式得函數(shù)的定義域;
(2)運(yùn)用奇函數(shù)的定義,結(jié)合對(duì)數(shù)式的性質(zhì)進(jìn)行判斷;
(3)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,在作差后注意判斷差式的真數(shù)與1的大小關(guān)系;
(4)把對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式求解.
解答:(1)解:要使函數(shù)有意義,應(yīng)滿(mǎn)足
1+x
1-x
>0,
即(1-x)(x+1)>0,
解得:-1<x<1,∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1).
(2)函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
f(-x)=log2
1+(-x)
1-(-x)
=log2
1-x
1+x
=log2(
1+x
1-x
)-1=-log2
1+x
1-x
=-f(x)
,
所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
(3)函數(shù)f(x)在(-1,1)上為增函數(shù).
證明:設(shè)-1<x1<x2<1,
f(x2)-f(x1)=log2
1+x2
1-x2
-log2
1+x1
1-x1

=log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)

因?yàn)?1<x1<x2<1,
所以1-x1>1-x2>0;1+x2>1+x1>0
所以
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
>1
,
所以log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
>0
,
即f(x2)-f(x1)>0,
f(x1)<f(x2).
所以,函數(shù)f(x)在(-1,1)上為增函數(shù).
(4)要使f(x)=log2
1+x
1-x
>0

則有
1+x
1-x
>1
,
1+x
1-x
-1>0
,
1+x-1+x
1-x
>0
,
∴x(x-1)<0,解得:0<x<1,
∴使f(x)>0的x的取值范圍為(0,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的定義域及其求法,考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷,考查了分式不等式的解法,求解分式不等式時(shí),要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化,此題是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線(xiàn)方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線(xiàn)l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線(xiàn)l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線(xiàn)l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過(guò)兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)在曲線(xiàn)y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與曲線(xiàn)f(x)相切的直線(xiàn)l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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