Question

（2013•天津模擬）已知函數(shù)f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角、輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）先確定2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，再求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

解答：解：（ I）：f(x)=

1-cos2x

2

+

3

sin2x+

3(1+cos2x)

2

=2+

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)+2…（4分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π，…（5分）
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（8分）
（ II）∵f(x)=2+2sin(2x+

π

6

)，由題意得：-

π

6

≤x≤

π

3

∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，4]
∴f（x）值域?yàn)閇1，4]…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．