Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax．
（Ⅰ）若時(shí)，f（x）取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）﹣x²+1，當(dāng)a=﹣1時(shí)，證明g（x）≤0在其定義域內(nèi)恒成立，并證明（n∈N，n≥2）．

Answer 1

解：，
（Ⅰ）因?yàn)?IMG style="WIDTH: 27px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120831/20120831143642960903.png">時(shí)，f（x）取得極值，所以，
即2+1+a=0，故a=﹣3．
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判別式△=a²-8，
（1）當(dāng)△≤0，即時(shí)，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，此時(shí)f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)△＞0，即或時(shí)，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0即可，
設(shè)h（x）=2x²+ax+1，
由得a＞0，所以．
由（1）（2）可知，若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，a的取值范圍是．
（Ⅲ）證明：g（x）=lnx+ax+1，當(dāng)a=﹣1時(shí)，g（x）=lnx﹣x+1，其定義域是（0，+∞），
令，得x=1．則g（x）在x=1處取得極大值，也是最大值．
而g（1）=0．所以g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x﹣1．
因?yàn)閚∈N，n≥2，所以lnn²≤n²﹣1．則．
所以=＜==．
所以結(jié)論成立．