已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的函數(shù).
(1)若函數(shù)y=f(x)滿足:f(xy)=f(x)+f(y),f(
1
3
)=1
,
①求f(1),f(
1
9
)
的值,
②若函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽+的減函數(shù),且f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.
(2)若函數(shù)y=f(x)對(duì)一切x∈R滿足f(x+2)=-f(x),求證:f(x)是周期函數(shù);
(3)若函數(shù)y=f(x)對(duì)一切x、y∈R滿足f(x+y)=f(x)+f(y),求證:f(x)是奇函數(shù).
分析:(1)①令x=y=1,可求得f(1),又f(
1
3
)=1,從而可求f(
1
9
);
②依題意,f[x(2-x)]<f(
1
9
),利用y=f(x)是定義域?yàn)镽+的減函數(shù),即可求得x的取值范圍;
(2)f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=f(x),從而可證f(x)是周期函數(shù);
(3)分別令x=y=0與y=-x,即可求得f(-x)=-f(x),從而可證f(x)是奇函數(shù).
解答:解:(1)①令x=y=1,則f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0,
∵f(
1
3
)=1,
∴f(
1
9
)=f(
1
3
×
1
3
)=f(
1
3
)+f(
1
3
)=2;
②由①知f(
1
9
)=2,
∴f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<f(
1
9
),
又函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽+的減函數(shù),
得:
x(2-x)>
1
9
x>0
2-x>0
,解之得:x∈(1-
2
2
3
,1+
2
2
3
).
(2)因函數(shù)y=f(x)對(duì)一切x∈R滿足f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
∴y=f(x)是以T=4為周期的周期函數(shù).
(3)因函數(shù)y=f(x)對(duì)一切x、y∈R滿足f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0得:f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
∴令y=-x,得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),
即f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,著重考查賦值法,考查函數(shù)的周期性.奇偶性的判斷與證明,屬于中檔題.
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[-3,3]
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(1,3]
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