Question

如果cos²θ+2msinθ-2m-2＜0對任意的θ總成立，求常數m的取值范圍．

Answer 1

分析：構造函數f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函數關系，可將函數的解析式化為f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三種情況，討論函數的最大值，最后匯總討論結果，即可得到答案．

解答：解：設f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0對任意的θ總成立，當且僅當函數y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1
∴當-1≤m≤1時，函數的最大值為m²-2m-1＜0，解得1-

2

＜m≤1；
當m≥1時，函數的最大值為f（1）=-2＜0
∴m≥1時均成立；
當m≤-1時，函數的最大值為f（-1）=-4m-2＜0，m＞-

1

2

，矛盾無解．
綜上得m的取值范圍是m∈(1-

2

，+∞)

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，其中構造函數f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，將問題轉化為函數恒成立問題是解答本題的關鍵．