Question

已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n²+log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知的兩個(gè)等式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，根據(jù){a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)求出方程組的解，即可得到首項(xiàng)和公比的值，根據(jù)首項(xiàng)與公比寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通項(xiàng)公式代入b_n=a_n²+log₂a_n中，化簡(jiǎn)得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)，分別根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則a_n=a₁q^n-1，由已知得：
，
化簡(jiǎn)得：，即，
又a₁＞0，q＞0，解得：，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n²+log₂a_n=4^n-1+（n-1）
∴T_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=+
=+．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．