Question

在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和，
（Ⅰ）求點P的軌跡C；
（Ⅱ）設過點F的直線l與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y）， 則， 由題設當x＞2時， 由①得， 化簡得； 當x≤2時，由①得， 化簡得； 故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分 與拋物線在直線x=2的左側部分 （包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1；

（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與的 交點都是， 直線AF，BF的斜率分別為， 當點P在C1上時，由②知，④ 當點P在C2上時，由③知|PF|=3+x，⑤ 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y=k（x-3）， （1）當k≤時， 直線l與軌跡C的兩個交點都在C1上， 此時由④知， 從而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣ =， 由得， 則是這個方程的兩根， 所以* ∣MN∣=， 因為當， ， 當且僅當時，等號成立。 （2）當時， 直線l與軌跡C的兩個交點分別在上， 不妨設點M在C1上，點C2上， 則④⑤知，， 設直線AF與橢圓C1的另一交點為E， ， 所以， 而點A，E都在C1上，且， 有（1）知， 若直線l的斜率不存在，則=3， 此時，； 綜上所述，線段MN長度的最大值為。