Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，且

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）．
（1）令c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（2）令d_n=a_n-b_n，求數(shù)列{d_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和公式S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得可得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2），此數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，利用通項公式即可得出；
（2）由已知可得an-bn=

1

2

(an-1-bn-1)(n≥2)，令d_n=a_n-b_n，則dn=

1

2

dn-1(n≥2)，此數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，利用通項公式即可得出；
（3）利用（1）（2）可得

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）由

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）兩式相加可得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2）
∴數(shù)列{c_n}是首項為a₁+b₁=3，公差為2的等差數(shù)列，
∴通項公式為c_n=2n+1．
（2）由

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）兩式相減可得an-bn=

1

2

(an-1-bn-1)(n≥2)，令d_n=a_n-b_n，則dn=

1

2

dn-1(n≥2)．
可知數(shù)列{d_n}是首項為a₁-b₁=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴通項公式為dn=

1

2n-1

．
（3）利用（1）（2）可得

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

，
∴S_n=(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+（1+2+…+n）+

1

2

n
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+

n(1+n)

2

+

1

2

n
=1-

1

2n

+

1

2

n2+n
=-

1

2n

+

1

2

n2+n+1．

點(diǎn)評：本題考查了可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．