Question

已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線C：y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F在直線l：x-my-=0上．
(Ⅰ)若m=2，求拋物線C的方程；
(Ⅱ)設(shè)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為A₁，B₁，△AA₁F，△BB₁F的重心分別為G，H求證：對任意非零實(shí)數(shù)m，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外．

Answer 1

解：(Ⅰ)因?yàn)榻裹c(diǎn)在直線l上，得，
又m=2，故p=4，
所以拋物線C的方程為y²=8x．
(Ⅱ)證明：因?yàn)閽佄锞�C的焦點(diǎn)F在直線l上，
所以p=m²，所以拋物線C的方程為y²=2m²x，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去x，得，
由于m≠0，故Δ=4m⁶+m⁴＞0，
且有y₁+y₂=2m³，y₁y₂=-m⁴，
設(shè)M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點(diǎn)，
由于，可知，
所以，
所以GH的中點(diǎn)，
設(shè)R是以線段GH為直徑的圓的半徑，
則，
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，
則

，
故N在以線段GH為直徑的圓外。