Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．圓.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，問(wèn)是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）不成立.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，可得：，由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得：，即可得橢圓的方程；（2）先將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可得，利用，可得，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，即可得不成立.

試題解析：（1）【解析】
∵ 橢圓過(guò)點(diǎn)，

∴ . 1分

∵， 2分

∴． 3分

∴橢圓的方程為. 4分

（2）解法1：由（1）知，圓的方程為，其圓心為原點(diǎn). 5分

∵直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程組 （*） 有且只有一組解．

由（*）得． 6分

從而,化簡(jiǎn)得．① 7分

，. 9分

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 10分

由于，結(jié)合①式知，

∴. 11分

∴ 與不垂直. 12分

∴ 點(diǎn)不是線段的中點(diǎn). 13分

∴不成立. 14分

解法2：由（1）知，圓的方程為，其圓心為原點(diǎn). 5分

∵直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程組 （*） 有且只有一組解．

由（*）得． 6分

從而,化簡(jiǎn)得．① 7分

， 8分

由于，結(jié)合①式知，

設(shè),線段的中點(diǎn)為,

由消去,得. 9分

∴ . 10分

若,得 ,化簡(jiǎn)得,矛盾. 11分

∴ 點(diǎn)與點(diǎn)不重合. 12分

∴ 點(diǎn)不是線段的中點(diǎn). 13分

∴ 不成立. 14分

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線.