Question

已知復數(shù)均為實數(shù)，為虛數(shù)單位，且對于任意復數(shù)。

（1）試求的值，并分別寫出和用、表示的關系式；

（2）將(、)作為點的坐標，(、)作為點的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，

當點在直線上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；

（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。

Answer 1

（1）

（2）點的軌跡方程為

（3）這樣的直線存在，其方程為或

解析:

（1）由題設，，

于是由，                           

因此由，

得關系式                                

（2）設點在直線上，則其經變換后的點滿足

，                                  

消去，得，

故點的軌跡方程為                        

（3）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，

∴所求直線可設為，                           

法一：∵該直線上的任一點，其經變換后得到的點

仍在該直線上，

∴，

即，

當時，方程組無解，

故這樣的直線不存在。                                           

當時，由

得，

解得或，

故這樣的直線存在，其方程為或，                      

法二：取直線上一點，其經變換后的點仍在該直線上，

∴，

得，                                           

故所求直線為，取直線上一點，其經變換后得到的點仍在該直線上。

∴，                                   

即，得或，

故這樣的直線存在，其方程為或，