Question

由曲線y=2x²-2（1≤x≤3）及直線y=0，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體做容器，每秒鐘向容器里注水8cm³，問幾秒鐘后能注滿容器？（坐標(biāo)的長度單位是cm）

Answer 1

分析：首先分析題目求幾秒鐘后水能注滿容器，又已知每秒鐘向容器里注水8cm³，則需要求出容器的體積，而容器是由拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的，可由定積分求得，即可求出結(jié)果．

解答：解：如圖，底面是x軸上0≤x≤1部分的線段繞y軸旋轉(zhuǎn)所生成的圓，
側(cè)面是拋物線y=2x²-2上1≤x≤3，0≤y＜16部分繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面．
由y=2x²-2，得x2=

y+2

2

，
注滿容器時(shí)的體積為V=π

∫

16 0

y+2

2

dy=π(

y2

4

+y

)

16 0

=80π(cm3)．
每秒注水88cm³，充滿容器所需時(shí)間為80π÷8=10π（秒）．
所以10π秒鐘后能注滿容器．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查由定積分求體積的公式的應(yīng)用，其中涉及到對(duì)旋轉(zhuǎn)體的理解，有一定的計(jì)算量屬于中檔題．