Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA=AD=2，AB=1，AC=

3

．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）在線段PD上是否存在一點E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證線與面垂直，只要證明線與面上的兩條相交線垂直，找面上的兩條線，再從PA⊥平面ABCD，得到結(jié)論．
（II）對于這種是否存在的問題，首先要觀察出結(jié)論，再進行證明，根據(jù)線面平行的判定定理，利用中位線確定線與線平行，得到結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD
在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=

3

，∴△ACD是直角三角形，且AC⊥CD
∴CD⊥平面PAC；
（II）存在點E，
取PD中點E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點，
∴NE

∥ .

.

1

2

AD
又在菱形ABCD中，CM

∥ .

.

1

2

AD
∴NE

∥ .

.

MC，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點E，使得NM∥平面ACE，
此時 PE=

1

2

PD=

2

點評：本題以四棱錐為載體，考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直、線面平行的判定定理．