Question

甲乙兩地需修建一條240公里的高速公路，該段高速公路兩端的收費站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的收費站之間修路面和等距離修建安全出口．經預算，修建一個安全出口的工程費用為400萬元．鋪設距離為x公里的相鄰兩安全出口之間的道路費用為x²+x萬元．設余下工程的總費用為y萬元．
（1）試將y表示成關于x的函數(shù)；
（2）需要修建多少個安全出口才能使y最小，其最小值為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）先設需要修建k個增壓站，列出余下工程的總費用的函數(shù)表達式，再結合自變量x的實際意義：x表示相鄰兩增壓站之間的距離，確定出函數(shù)的定義域即可．
（2）依據(jù)（1）中得出的函數(shù)表達式，結合基本不等式即可求得函數(shù)y的最大值，最后回到原實際問題進行解答即可．

解答：解：（1）設需要修建k個增壓站，則（k+1）x=240，即k=

240

x

-1．
所以y=400k+（k+1）（x²+x）=

96000

x

+240x-160．
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤240．
故y與x的函數(shù)關系是y=

96000

x

+240x-160（0＜x≤240）．
（2）y=

96000

x

+240x-160≥2

96000 x ×240x

-160=2×4800-160=9440．
當且僅當

96000

x

=240x，即x=20時取等號．此時，k=

240

x

-1=11．
故需要修建11個增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬元．

點評：本題考查解函數(shù)在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．