Question

1．已知a＞1，且f（log_ax）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（x-\frac{1}{x}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性與單調(diào)性（直接寫出結(jié)論，不需要證明）；
（3）對(duì)于f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）換元法解表達(dá)式，可得函數(shù)解析式；
（2）利用定義判斷奇偶性；借助基本初等函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由單調(diào)性解不等式．

解答 解：（1）令t=log_ax，x=a^t，
代入f（log_ax）中，得f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
（2）∴f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又∵f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，a^x在R上遞增，-a^-x在R上遞增，故f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，a^x在R上遞減，-a^-x在R上遞減，故f（x）為增函數(shù)．
綜上所述，f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）由（1）知f（x）為奇函數(shù)，
由（2）知f（x）在x∈（-1，1）為增函數(shù)，
故有-1＜1-m＜m²-1＜1，解得1＜m$＜\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的基本特征，同時(shí)考查了利用函數(shù)單調(diào)性求不等式的解集．